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数学虚数的定义及概念(虚数定义及计算方法)

来源: admin 2021-1-7 21:24 显示全部楼层 |阅读模式

为了让大家更加直观的了解虚数这一概念,我们在了解虚数之前,先回过头重新看一下我们常见的数,例如正数、负数、小数等概念。

一提到这些相信大家的脑海里会浮现出一根数轴。我们所了解的正数都在这根数轴上:

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但是,就这些正数是远远不够的,人们又想:难道就不能将这根数轴往左边方向拓展延伸吗?

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于是,人们发现了负数,并将这根实数轴完善成了下面这个样子:

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当时的人们认为这已经接近完美了,因为当时所有的数都可以在这根数轴上表示出来。这样安逸享乐的日子一直持续到了16世纪。当时意大利的卡尔达诺提出了一个这样子的问题:

“divide 10 in duas partes,ex quarum unius in reliquam ducto,produatur 40”

大致意思就是将10分成两部分,使其乘积为40,即

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为了解开这道题,我们可以使用数形结合的思想,将它变为一个矩形,使其周长的一半为10,面积为40。

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很容易可以看出,该矩形的最大面积是25,不可能达到40.也就说明该问题不存在答案。而其原因,就是因为没有发现虚数。

我们现在再来思考个问题。我们初中就知道了平方和开根号,就好比4^2=16,√16=4这种,但是有个前提,就是被开方数一定要大于等于零,否则无解。

于是,数学家就开始疑惑了,为什么负数就不能开平方呢?就好比为什么不存在√-1呢?很显然,这种数没有意义,与其说是被创造出来,不如说是被想象出来的。于是,对于√-1这种数,我们称它为“imaginary number(想象出来的数)”并以imaginary的首字母i作为它的单位。就这样,数学界开始规定

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也就是

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现在我们再来回到上面那道题:将10分成两部分,使其乘积为40。

我们设一个数为5+x,则另一个数为5-x,

于是就得到等式:(5+x)(5-x)=40

根据平方差公式得到:5^2-x^2=40

所以x^2=-15

所以两个数分别为5+√-15和5-√-15。

其中,√-15就是虚数。

前面对虚数的定义还不怎么深入,我们现在再用另一种方法解释一下。

通过数轴我们可以看出将1绕原点逆时针旋转180度,也就是乘以-1就得到了-1。

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那假设我们只想旋转90度呢?很简单,乘以i就行。

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如果我们将它一直乘以i,我们就可以得到:

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根据i²=-1可以发现

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也就是说明i⁴为一周期,每乘以4个i就会进行一次轮回。所以我们可以说,i就是逆时针旋转90度,是一个旋转量。相信这种解释会帮助你更好的理解虚数的定义。

现在,我们回到最开始讲的数轴上。通过这根数轴我们可以看出,人们总喜欢把所有的数都想象在一根一维的直线上。那么,现在又多了个虚数,这该怎么表示呢?

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于是,他们想到了一个极棒的主意。就是将这根数轴进行拓展。当然,这里讲的拓展不是说把这根直线变得更长,而是将这个一维的直线拓展到二维,也就是再加一根轴线。就像这样:

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对于这个二维的平面,我们称之为复平面。也就是说所有的点我们都可以a+bi的形式表示出来并称其为复数。

好,现在我们可以将我们了解的数归归类了:

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准备,概念部分来啦!

单个复数常常用字母z来表示,即z=a+bi。其中a称为复数a+bi的实部,记作Re z;b称为复数a+bi的虚部,记作Im z。

当b=0时,复数z=a+bi=a是实数;当b≠0时,z叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=a+bi=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z是实数0.

如果两个复数和相等,那么a=c且b=d。即a+bi=c+di。

复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离叫做复数z的模,记作|z|。 a408fcf63fd4458e8f559fad6159f866.png 当点P不是原点,即复数z≠0时,向量OP与 x轴正向的夹角称为复数z的辐角,记作Arg z。辐角的符号规定为:由正实轴依反时针方向转到OP为正,依顺时针方向转到OP为负。 73010cca27ec4a00985922363b43b7df.png

现在问题来了,复数怎么进行运算呢?

想必大家合并同类项都会,那我们来试试这道题:

(5+4a)+(6-a)

这一定很容易吧,等于11+3a,那么我们现在把a换成虚数i就行了。所以:

(5+4i)+(6-i)=11+3i

减法也是如此,是不是很容易呢?

我们再来算一下这道题:

(2+3b)×(5+b)

这也是轻而易举啊,等于,现在把b换成i就行了,也就是说明

(2+3i)×(5+i)=10+3i²+17i

但是我们还知道,i²=-1,所以

(2+3i)×(5+i)

=10+3i²+17i

=10+3×(-1)+17i

=7+17i

是不是很简单呢?

其实,这些加法减法还可以在复平面上表示

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我们可以把一个个复数看作是向量,而复数的和就是向量和,如图所示,

(1+2i)+(3+i)=4+3i

乘法也是如此。两个复数相乘的结果就是:它们的模长相乘,幅角相加,如图所示。

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虚数在各领域都起着决定性的作用,与它的名字完全不符合,像是著名的欧拉公式,或是之前翻译的一期有关薛定谔方程的视频,都离不开虚数的身影。

你说,虚数还虚吗?


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